妹さんが蜘蛛が好きでプロフィール画像を蜘蛛にする、というのは本来本人の自由だと思います。 しかし、「蜘蛛が苦手な人は世間には比較的多い」ということを理解できると、妹さん自身にとっても今後の人間関係や生活がやりやすくなるのかな？とも思います。 「親が嫌いだから変えろ」という理屈では納得いかないと思いますが、「蜘蛛嫌いの人にも配慮できるようになったほうが、これから自分が過ごしやすいよ」ということを伝えてみてはいかがでしょうか？ それでも変えないんだということであれば、そこは妹さんの自由の方が優先されるべきかなと思います！