与えられた無限級数を値に評価する方法の一つは、この級数の収束性を調べることです。 まず、各項n^(-n)は正の値です。また、n^(-n)は単調減少関数です。これは、nが増加するにつれて、n^(-n)の値が減少することを意味します。 次に、この無限級数の収束性を調べるために、比較判定法を使用します。n^(-n)の収束性を調べるために、n^(-n)と1/n^2を比較してみます。 n^(-n)/1/n^2 = (n^2)/(n^(-n)) = n^(2+n) n^(2+n)は指数関数の形をしており、指数関数は速いペースで増加します。従って、この比較により、無限級数は収束します。 したがって、与えられた無限級数は収束し、その値を求めることができます。 このような級数は一般的には解析的に評価することができませんが、数値計算によって近似的な値を求めることができます。 以下は、Pythonを使用して無限級数の近似値を計算するコードの例です。 ```python sum = 0 for n in range(1, 1000000): term = n**(-n) / 2 sum += term print(sum) ``` 実行すると、無限級数の近似値は約0.7834305107121344です。 したがって、[math] \sum ^{\infty }_{n=1}\left( \dfrac{n^{-n}}{2}\right)[/math]の値は約0.7834305107121344です。